Una granja de conejos, la sucesión de Fibonacci y los mecanismos de control

«Sabiendo que una determinada variedad de conejos tarda en madurar sexualmente un mes y que de cada gestación se obtiene una nueva pareja, calcular cuántos conejos se obtienen de una sóla pareja original de conejos al cabo de un año». El anterior problema, fue planteado por Leonardo de Pisa «Fibonacci» en su Liber Abaci o «Libro del Ábaco» en el siglo XIII y da lugar a la famosa sucesión de Fibonacci. La solución al problema se obtiene calculando la población de parejas adultas (maduras) y crías (inmaduras) mes a mes: El primer mes se tiene una pareja de crías, el segundo mes la pareja ha madurado y se sigue teniendo una pareja (pero ya de adultos), el tercer mes se tiene la pareja de adultos y las crías que han tenido (dos parejas en total), el cuarto mes la pareja adulta da una nueva pareja de crías y la pareja de crías ya ha madurado (total 3 parejas), en el quinto mes tenemos las dos parejas adultas del cuarto más sus dos crías más la cría del cuarto mes que ha madurado (total 5 parejas); en general cada mes se tiene la suma de los dos meses anteriores, es decir, en la columna de totales se tiene la famosa sucesión de números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144¿y al acabar el año hay 144 parejas; es decir, 288 conejos (Ver tabla). El resultado es hasta cierto punto sorprendente, pero lo es más el hecho de que disponer de un modelo matemático como el expuesto (cada mes se obtiene como suma de los dos meses anteriores) permita, por ejemplo, la explotación comercial planificada. Por ejemplo, podemos establecer el número de parejas que extraeremos de nuestra granja (mecanismo de control) y en qué momento hacerlo asegurando al final del año cualquier número de parejas entre 0 y 144 vivas en nuestra granja. Obviamente alguien pensará ¿y los conejos que mueren? ¿porqué cada hembra gesta una sóla pareja si sabemos que en la realidad esto no es así? La respuesta es: Añada usted toda esa información, complique usted el modelo hasta que sea verosímil y luego utilice las matemáticas para obtener los resultados que demanda. Para aquellos que no estén convencidos, un ejemplo: Prácticamente un modelo hermano de este, llamado «de población por cohortes y tasas de mortalidad» es el que se usa hoy, en la práctica, para calcular el valor de los seguros de vida (la prima neta). El modelo de mortalidad para la población española lo elabora mediante muestreo estadístico el Instituto Nacional de Estadística y lo publica periódicamente. Sistemas de control Así pues, tanto quiera usted que sea de «verosímil» su modelo, tanto más tendrá que complicarlo con información extra sobre mortalidades etc. y tanto mayores serán sus problemas a la hora de intentar controlarlo matemáticamente. De hecho, los sistemas de control son un campo en donde la investigación científica y técnica aúna a multitud de especialistas en colaboración interdisciplinar; desde matemáticos, ingenieros, físicos, químicos, biólogos hasta economistas o psicólogos. Obviamente la descripción matemática es en general mucho más compleja que la dada aquí para nuestra pequeña granja de conejos, pero la filosofía subyacente es la misma: Uno dispone de un modelo matemático que representa una simplificación del fenómeno que desea estudiar e introduce herramientas de control (retirar parejas de conejos o aplicar un determinado impulso mecánico a una parte del sistema o añadir más reactivo a la columna de precipitado) con el objetivo de modificar el comportamiento original y llevarlo a uno nuevo, más beneficioso. MES CRÍAS ADULTAS TOTAL PAREJAS PAREJAS 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 5 8 13 8 8 13 21 9 13 21 34 10 21 34 55 11 34 55 89 12 55 89 144